Dénombrements de possibilités

Principe

Pour les tirages successifs de boules SANS remise, il y a plusieurs tirages possibles selon l’ordre des résultats. Exemple : 1-2-3, 1-3-2, 2-1-3, etc.

Pour dénombrer toutes ces possibilités, on utilise les formules avec combinaisons : choix de k objets parmi n disponibles.

On rappelle la formule des combinaisons :

C\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}

Calcul de la probabilité

L’énoncé est le suivant : 3 personnes sur 10 sont malades. Calculer la probabilité pour que sur 3 personnes choisies au hasard, il y ait 2 malades.

Le calcul s’effectue en deux étapes :

Nombre de cas possibles pour le tirage, choix de 3 personnes sur 10 : $C\binom{10}{3}$
Nombre de cas favorables, 2 malades sur les 3 choisis : $C\binom{3}{2}$

La probabilité est la division des deux, le nombre de cas favorables sur le nombre de cas possible : $\displaystyle{\frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}} = \frac{C\binom{3}{2}}{C\binom{10}{3}}}$