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Géométrie dans l’espace

Les notions de géométrie dans l’espace (3D) peuvent paraître assez complexes, car difficile à représenter. Mais en général, il est facile de gagner des points sur cette partie, car les questions posées sont souvent les mêmes.

Généralités

On utilise un repère orthogonal sur trois dimensions (O,i⃗,j⃗,k⃗)(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})

On trouve alors différents types d’entités de une à trois dimensions :

Point A
Identifiés par ses coordonnées (x,y,z)
Droite (AB)
Identifié par un vecteur directeur AB→\overrightarrow{AB}
Possède une équation paramétrique (décomposé en trois équations à chaque coordonnées). Tous les points de la droite vérifient cette équation.
Plan P
Identifié par un vecteur normal n⃗\vec{n}, un vecteur directeur qui est orthogonal au plan.
Possède une équation cartésienne ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0. Tous les points du plan vérifient cette équation.

Ainsi que quelques figures en trois dimensions :

  • Sphère
  • Cube
  • Tétraèdre : Figure avec 3 faces de triangles, il est régulier si les triangles sont équilatéraux.

Vecteurs

Relation de Chasles

AB→=AI→+IC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}

Très pratique, à utiliser pour découper un vecteur en plusieurs. Par exemple pour résoudre une équation de type AB→⋅CD→=0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} = 0

Colinéarité et points alignés

Les points A, B et C sont alignés

⟺AB→\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires

⟺AB→=k.AC→\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{AC} avec k∈Rk \in \mathbb{R}

Longueur d’un vecteur

Pour u⃗  (abc)\vec{u} \; \begin{pmatrix} a \cr b \cr c \end{pmatrix} on a :

∣∣u⃗∣∣=a2+b2+c2||\vec{u}||=\sqrt{a^2+b^2+c^2}

Pour A  (xAyAzA) A \; \begin{pmatrix} x_A \cr y_A \cr z_A \end{pmatrix} et B  (xByBzB) B \; \begin{pmatrix} x_B \cr y_B \cr z_B \end{pmatrix} on a :

∣∣AB→∣∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

Produit scalaire de deux vecteurs

u⃗⋅v⃗=∣∣u⃗∣∣.∣∣v⃗∣∣.cos(u⃗;v)⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}||.||\vec{v}||.cos(\vec{u};\vec{v)}

Pour u⃗  (xyz)\vec{u} \; \begin{pmatrix} x \cr y \cr z \end{pmatrix} et v⃗  (x′y′z′)\vec{v} \; \begin{pmatrix} x' \cr y' \cr z' \end{pmatrix} on a

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′\vec{u} \cdot \vec{v} = xx'+yy'+zz'

Et pour des points A, B, C et D, cela donne :

AB→⋅CD→=(xB−xA)(xD−xC)+(yB−yA)(yD−yC)+(zB−zA)(zD−zC)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (x_B-x_A)(x_D-x_C)+(y_B-y_A)(y_D-y_C)+(z_B-z_A)(z_D-z_C)

Si u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 alors les vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires dans l’espace)

Vecteurs particuliers

On utilise des vecteurs pour décrire les droites et les plans.

Vecteur directeur u⃗\vec{u}
u⃗\vec{u} est vecteur directeur de (AB) ssi ils sont sont colinéaires.
AB→\overrightarrow{AB} est vecteur directeur de la droite (AB)
k.AB→k.\overrightarrow{AB} désigne tous les vecteurs directeurs (car ils sont colinéaires entre eux)
Vecteur normal n⃗\vec{n}
Vecteur normal n⃗\vec{n} à une droite (ou un plan) ssi il est orthogonal (perpendiculaire) avec un vecteur directeur de la droite (ou du plan).

Coordonnées de vecteurs

Coordonnées d’un vecteur directeur u⃗\vec{u} à une droite
(x=at+a′y=bt+b′z=ct+c′) t∈R\begin{pmatrix} x =at+a' \cr y=bt+b' \cr z=ct+c' \end{pmatrix} \, t \in \mathbb{R} est une équation paramétrique de la droite (D)
Un vecteur directeur de (D) a pour coordonnées (a;b;c)(a;b;c), ce sont les coefficient devant t.
Coordonnées d’un vecteur directeur u⃗\vec{u} à un plan
ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 est une équation cartésienne du Plan P
Deux vecteurs directeurs au plan P ont pour coordonnées (−b;a;0)(-b;a;0) ou (b;−a;0)(b;-a;0), car ils vérifient l’équation cartésienne.
Coordonnées d’un vecteur normal n⃗\vec{n} à un plan
ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 est une équation cartésienne du Plan P
Le vecteur normal au plan P a pour coordonnées (a;b;c)(a;b;c), ce sont les coefficients de l’équation cartésienne.
Coordonnées d’un vecteur AB→\overrightarrow{AB}
On calcule les coordonnées d’un vecteur à partir des coordonnées de ces deux extrémités :
AB→=(xB−xAyB−yAzB−zA)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B-x_A \cr y_B-y_A \cr z_B-z_A \end{pmatrix}

Equations

Equation cartésienne d’un plan

Tout point du plan vérifient cette équation :

ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0

Un plan se définit à partir de trois points (A, B, C) où :

  • Les 2 vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont non colinéaires
  • les 3 points A, B et C vérifient la même équation cartésienne

Equation paramétrique d’une droite

Exemple d’équation paramétrique :

u⃗:(x=2t+1y=t+6z=3t+3) t∈R\vec{u} : \begin{pmatrix} x =2t+1 \cr y=t+6 \cr z=3t+3 \end{pmatrix} \, t \in \mathbb{R}

Avec u⃗\vec{u} vecteur directeur de la droite, on a :

OM→=k.u⃗:(x=k.u1y=k.u2z=k.u3)\overrightarrow{OM} = k.\vec{u}: \begin{pmatrix} x=k.u_1 \cr y=k.u_2 \cr z =k.u_3 \end{pmatrix} AM→=k.u⃗:(x−xA=k.u1y−yA=k.u2z−zA=k.u3)\overrightarrow{AM} = k.\vec{u} : \begin{pmatrix} x-x_A =k.u_1 \cr y-y_A =k.u_2 \cr z-z_A =k.u_3 \end{pmatrix}

Interactions dans l’espace

Trouver l’intersection de 2 plans

  1. Si les deux plans sont parallèles (vecteurs normaux colinéaires) alors il n’y a pas d’intersection.
  2. Sinon, c’est donc une droite dont l’équation paramétrique vérifie les équations cartésiennes des deux plans.

Trouver l’intersection d’un plan et d’une droite

  1. Si la droite appartient au plan, l’intersection des deux sera la droite elle-même.
  2. Sinon c’est un point dont les coordonnées satisfont l’équation cartésienne du plan et l’équation paramétrique de la droite.

Montrer que deux droites sont orthogonales

Montrer que le produit scalaire de leur vecteur est nul AB→⋅CD→=0⃗\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \vec{0}

Montrer que deux plans sont perpendiculaires

  1. Déterminer d’abord les coordonnées des vecteurs normaux aux plans (grâce aux équations cartésiennes).
  2. Les deux vecteurs normaux doivent être orthogonaux : leur produit scalaire est égale à 0

Calcul de distances

Projeté orthogonal H

Projeté orthogonal sur une droite
Le projeté orthogonal d’un point A sur la droite D est le point où la distance entre droite et point est la plus courte.
AH coupe D avec un angle droit.
Projeté orthogonal sur un plan
Le projeté orthogonal d’un point A sur le plan P est le point où la distance entre plan et droite et la plus courte.
Le projeté suit toujours un vecteur normal au plan

Distance point - plan

Point A (xA;xB;xC)(x_A;x_B;x_C) et plan P (ax+by+cz+d=0)(ax+by+cz+d=0)

Cette formule est à apprendre :

d(A;P)=AH=∣a.xA+b.yA+c.zA+d∣a2+b2+c2d(A;P) = AH = \frac{| a.x_A + b.y_A + c.z_A + d |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Distance point - droite

Point A (xA;xB;xC)(x_A;x_B;x_C) et droite D avec équation paramétrique et vecteur directeur u⃗\vec{u}

Ici, la méthode est plus complexe :

  1. La distance est nulle si le point est sur la droite. Pour le vérifier remplacer les coordonnées du point dans l’équation paramétrique de la droite.
  2. Trouver les coordonnées d’un vecteur directeur u⃗\vec{u} de la droite D
  3. Utiliser le projeté orthogonal H du point sur la droite :
    • H vérifie l’équation paramétrique de D
    • AH→⋅u⃗=0⃗\overrightarrow{AH} \cdot \vec{u} = \vec{0}
  4. Résoudre les 4 équations qui en découlent pour trouver les coordonnées du point H
  5. Déduire la longueur AH (xH−xA)2+(yH−yA)2+(zH−zA)2\sqrt{(x_H-x_A)^2+(y_H-y_A)^2+(z_H-z_A)^2}

Objets dans l’espace

Centre de gravité O d’un triangle
OA→+OB→+OC→=0⃗\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}
Barycentre G de trois points ABC
aGA→+bGB→+cGC→=0⃗a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=\vec{0} aMA→+bMB→+cMC→=(a+b+c)MG→a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}=(a+b+c)\overrightarrow{MG}

avec a,b,ca,b,c coefficients du barycentre, et M décrivant un point de l’espace

Equation cartésienne d’une sphère
(x−xC)2+(y−yC)2+(z−zC)2=r2(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2=r^2