Partons sur les bonnes bases

N’allez pas plus loin si vous ne maîtrisez pas ces connaissances basiques. Espérons qu’il ne s’agisse que d’un rappel… En tout cas, il est toujours bon de rappeler ces évidences, pour que sa mémoire reste structurée et organisée.

Algèbre

Fractions

Géométrie

Droites et segments

Droite (AB)

N’a pas de longueur et passe par A et B, illimité des deux côtés

Segment [AB]

Délimité par les extrémité A et B

Demi-droite [AB)

Possède une origine A et est illimité d’un seul côté en passant par B

Les triangles

Types de triangles

La somme des angles d’un triangle vaut 180° ($\pi$)

Triangle rectangle

Possède un angle droit de 90° ($\pi/2$).

L’hypoténuse est le segment opposé à l’angle droit.

Triangle isocèle

Possède deux segments de même longueur.

Triangle équilatéral

Possède trois segments de même longueur et trois angles égaux à 60° ($\pi/3$).

Triangle scalène/quelconque

Triangle qui ne possède aucun segments de même longueur, et sans angle droit.

Droites particulières d’un triangle

Médiane

Droite qui relie un sommet au milieu du côté opposé

Les trois médianes se coupent au centre de gravité, sa distance avec les trois sommets est la même.

Hauteur

Droite qui relie un sommet au côté opposé en formant un angle droit

Les trois hauteurs se coupent à l’orthocentre

Médiatrice

Droite qui passe par le milieu d’un segment en formant un angle droit

Les trois médiatrice se coupent au centre du cercle circonscrit, cercle passant par les trois sommets

Bissectrice

Droite qui partage un angle de sommet en deux angles de même mesure

Les trois bissectrices se coupent au centre du cercle inscrit

Triangle rectangle

Moyen mnémotechnique : SOH CAH TOA (prononcé “socatöa”)

Théorème de Pythagore

Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Théorème de Thalès

DE et BC sont parallèles alors :

Cercle trigonométrique

Propriétés d’un triangle rectangle avec une hypoténuse à 1 :

• $x=cos(\theta)$
• $y=sin(\theta)$

Les repères de plan

Un repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ est :

Orthogonal

si $\vec{i}$ et $\vec{j}$ sont orthogonaux, formant un angle droit

Orthonormé

si $\vec{i}$ et $\vec{j}$ sont orthogonaux et de même norme, $||\vec{i}||=||\vec{j}||$

Direct

si $(\vec{i};\vec{j}) = {\pi}/{2}$

Indirect

si $(\vec{i};\vec{j}) = -{\pi}/{2}$

On distingue trois types de repères de plan qui correspondent à trois parties du programme :

Repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$

Utilisé pour les courbes et études de fonctions f(x)

Un point M(x,y) possède les coordonnées x (abscisse sur $\vec{i}$) et y (ordonnée sur $\vec{j}$)

Repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$

Utilisé pour la géométrie dans l’espace (trois dimensions)

Un point M(x,y,z) a trois coordonnées dans l’espace

Repère orthonormé dans le plan complexe $(O,\vec{u},\vec{v})$

Utilisé pour les représentations dans le plan complexe (en introduisant $i^2=-1$)

Un point M(z) possède une affixe z

Analyse / Etude de fonctions

Courbes et fonctions

Tangente

La tangente à une courbe en un de ses points est une droite qui « touche » la courbe au plus près au voisinage de ce point. La courbe et sa tangente forment alors un angle nul en ce point.

Asymptote

L’asymptote est une tangente à l’infini. Lorsque l’abscisse ou l’ordonnée tend vers l’infini, la distance entre la courbe et l’asymptote tend vers 0.

Continuité

Fonction continue

Une fonction f est continue sur $I$ ssi $\forall x \in I,\quad f(x)$ admet une valeur.

Fonction monotone

Une fonction est monotone sur un intervalle, si elle est croissante/décroissante. On parle de strictement monotone/croissante/décroissante.

Théorème des valeurs intermédiaires

Une fonction continue sur un intervalle qui prend deux valeurs m et n, prend également toutes les valeurs intermédiaires.

Théorème de la bijection

Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle constitue une bijection entre cet intervalle et son image. Toute valeur de l’intervalle admet une solution unique.

Fonctions composés

Propriétés des fonctions composées $f \circ g$

Si f croissante et g croissante alors $f \circ g$ croissante.

Si f décroissante et g décroissante alors $f \circ g$ croissante.

Si f croissante et g décroissante alors $f \circ g$ décroissante.

Si g croissante et f décroissante alors $f \circ g$ décroissante.

Dérivées et primitives

Dérivée

D’un point de vue géométrique, c’est le coefficient directeur (pente) de la tangente d’une courbe en un point.

Primitive

Anti-dérivée, Fonction F définie sur I telle que :

$\forall x \in I, \quad F'(x) = f(x)$

Lettres et symboles

Ensembles de définition

Lettres grecs

Utilisations usuelles des symboles