Plan complexe

Définitions et vocabulaire

L’ensemble des complexes C\mathbb{C} correspond à l’ensemble R\mathbb{R} auquel on ajoute le nombre “imaginaire” i tel que :

i2=−1i^2=-1

On définit le repère (O,u⃗,v⃗)(O,\vec{u},\vec{v}). Les lettres u et v doivent vous interpeller, on quitte le monde des fonctions avec les repères de coordonnées i⃗,j⃗\vec{i},\vec{j} pour le monde des complexes.

Affixes de points M(z)

Tout point M(z) du plan (O,u⃗,v⃗)(O,\vec{u},\vec{v}) est défini par une affixe z plutôt que des coordonnées (x,y). Cette affixe s’exprime sous deux formes :

  • Forme algébrique
  • Forme trigonométrique / exponentielle

Forme algébrique

z=a+ibz=a+ib

Les deux paramètres de la forme algébrique sont :

  • a est la partie réelle (coordonnées sur l’abscisse u)
  • b est la partie imaginaire (coordonnées sur l’ordonnée v)

On note le conjugué de z :

zˉ=a−ib\bar{z}=a-ib

On a le module de z (longueur OM) :

∣z∣=∣zˉ∣=a2+b2|z|=|\bar{z}|=\sqrt{a^2+b^2}

Cas particuliers :

  • Si z=a alors z est réel, M est sur l’axe u⃗\vec{u}
  • Si z=ib alors z est imaginaire pur, M est sur l’axe v⃗\vec{v}

Forme trigonométrique / exponentielle

z=∣z∣×eiθ  [2π]z=|z| \times e^{i\theta} \; [2\pi]
eiθ=cos(θ)+i.sin(θ)e^{i\theta}=cos(\theta)+i.sin(\theta)

Les deux paramètres de la forme trigonométrique sont :

Module de z
∣z∣=OM‾|z| = \overline{OM}
Rappel : ∣eiθ∣=1|e^{i\theta}|=1
Argument de z
arg(z)=θ=(u⃗;OM→)arg(z) = \theta = (\vec{u};\overrightarrow{OM})
Attention, l’argument d’un complexe est un angle, n’écrivez pas l’inverse : arg(θ)arg(\theta) !
z′=zn  ⟹  {∣z′∣=∣z∣narg(z′)=n×arg(z)  [2π]z'=z^n \;\Longrightarrow\;\begin{cases} |z'|=|z|^n\cr arg(z')=n \times arg(z) \; [2\pi] \end{cases}

Affixe de vecteurs AB→\overrightarrow{AB}

On définit l’affixe d’un vecteur AB→\overrightarrow{AB}: zB−zAz_B-z_A

La longueur |AB| est : ∣zB−zA∣|z_B-z_A|

Le milieu I d’un segment AB a pour affixe : za+zb2\displaystyle{\frac{z_a+z_b}{2}}

Une affaire d’angles :

(u⃗;OA→)=arg(zA)(u⃗;AB→)=arg(zB−zA)(OA→;OB→)=arg(zBzA)(AB→;CD→)=arg(zD−zCzB−zA)\begin{aligned} (\vec{u};\overrightarrow{OA})= & arg(z_A) \cr (\vec{u};\overrightarrow{AB})= & arg(z_B-z_A) \cr (\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB})= & arg(\frac{z_B}{z_A}) \cr (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD})= & arg(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}) \end{aligned}

Géométrie dans le plan complexe

Transformations géométriques

La manipulation des affixes dans le plan complexe s’accompagne la plupart du temps de transformations. A tout point M(z), on associe son transformé M’(z’). C’est sur ces transformations que portent les questions de l’épreuve.

Les transformations du plan sont les suivantes :

Translation
Translation de rapport k
OM′→=OM→+k\overrightarrow{OM'}=\overrightarrow{OM}+k
z′=z+kz'=z+k
Rotation
Rotation de centre C d’angle θ\theta
{CM′=CM(CM→,CM′→)=θ+2kπ\begin{cases}CM'=CM \cr (\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CM'})=\theta + 2k\pi\end{cases}
z′−zC=(z−zC).eiθz'-z_C=(z-z_C).e^{i\theta}
Homothétie
Homothétie de centre C de rapport k (modification de la taille)
CM′→=k.CM→\overrightarrow{CM'}= k.\overrightarrow{CM}
z′−zC=k.(z−zC)z'-z_C= k.(z-z_C)
Symétrie centrale
Symétrie de centre C
CM′→=MC→\overrightarrow{CM'}=\overrightarrow{MC}
z′−zC=zC−zz'-z_C=z_C-z

Exemples d’affixes de transformés

Transformations particulièresAffixe
Translation de rapport 2z′=z+2z'=z+2
Rotation de centre O d’angle π/2\pi/2z′=izz'=iz
Homothétie de centre O et rapport 2z′=2zz'=2z
Symétrie de centre Oz′=−zz'=-z
Réflexion avec l’axe des réelsz′=zˉz'=\bar{z}

Ensemble de points décrit par M

M décrit la médiatrice de [AB]
∣AM∣=∣BM∣|AM|=|BM|
∣z−zA∣=∣z−zB∣|z-z_A|=|z-z_B|
Exemple : |z-1|=|z|
M décrit le cercle de centre C de rayon r
|CM| = r
∣z−zC∣=r|z-z_C|=r
z−zC=r.eiθz-z_C = r . e^{i\theta}
Exemple : |z-1|=2
Points A,B et C alignés
On utilise la même stratégie qu’en géométrie dans l’espace. Il faut vérifier la colinéarité des vecteurs
AB→=k.AC→  \overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{AC} \; avec k réel
zB−zA=k.(zC−zA)    k∈Rz_B-z_A = k . (z_C-z_A) \;\; k \in \mathbb{R}
AM et BM sont parallèles
(AM→;BM→)=0⃗(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM})=\vec{0}
z−zBz−zA\frac{z-z_B}{z-z_A} est un réel
AM perpendiculaire à BM
(AM→;BM→)=π2(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM})=\frac{\pi}{2}
z−zBz−zA\frac{z-z_B}{z-z_A} est un imaginaire pur

Figures géométriques de plusieurs points

Parrallélogramme ABCD
Diagonales AC et BD avec le même milieu zC−zA2=zD−zB2\frac{z_C-z_A}{2}=\frac{z_D-z_B}{2}
Vecteurs égaux AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}: zB−zA=zD−zCz_B-z_A=z_D-z_C
Rectangle ABCD
Diagonales AC et BD de même longueur ∣zC−zA∣=∣zD−zB∣|z_C-z_A|=|z_D-z_B|
(AB→;BC→)=π/2(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC})=\pi/2
Triangle équilatéral ABC
Trois côtés egaux ∣zB−zA∣=∣zC−zA∣=∣zC−zB∣|z_B-z_A|=|z_C-z_A|=|z_C-z_B|
Ou au moins deux côtés egaux zB−zA=zB−zCz_B-z_A=z_B-z_C et un angle de π3\frac{\pi}{3} : arg(zB−zAzC−zB)=π3arg(\frac{z_B-z_A}{z_C-z_B})=\frac{\pi}{3}

Astuces diverses

Quelques astuces supplémentaires pour la résolution des questions :

  1. Pour z=1+iz=1+i, on a :

    • arg(z)=π/4arg(z)=\pi/4
    • ∣z∣=22|z|=\frac{\sqrt{2}}{2}

  2. La valeur 1+3i2\displaystyle{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}} est souvent utilisée. Son écriture exponentielle est eiπ3e^{i\frac{\pi}{3}}

  3. On remarque que : (1+i)(1−i)=2(1+i)(1-i)=2
    Très utile lorsque (1+i)(1+i) ou (1−i)(1-i) est un dénominateur
    Exemple : 11+i=1−i2\displaystyle{\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{2}}

  4. Pour résoudre une équation d’affixe, on isole partie réelle et imaginaire et on fait l’égalité des deux
    z=z′⇔a=a′z=z' \Leftrightarrow a=a' et b=b′b=b'