Méthode de calculs

La majorité des questions de l’épreuve de mathématiques consiste à faire des calculs. Avec un peu d’entraînement, vous n’aurez aucun mal à résoudre ces questions, vous irez même plus vite.

Cette page est votre boîte à outils, vous devez maîtrisez toutes ces méthodes et calculs (ou les rentrer dans la calculatrice). Ils vont servir à tout type d’exercices.

Méthodes générales

Comparaison d’inégalités: Croissance de l’intégrale : Si une fonction est continue et positive, l’intégrale d’une fonction conserve l’inégalité
Fonctions composés: Comparaison de limite : Si f est continue, la fonction de la limite
Diviser pour régner: Principe fondateur pour les calculs d’intégrales, de dérivées et de limites

Changements de signe

Moins moins égal plus : $a-(b-c) = a-b+c$

Une inversion de signe modifie le sens d’une inégalité : $-a\leq b \Leftrightarrow a \geq -b$

Arithmétique et divisibilité

Nombres divisibles par 3: La somme des chiffres est divisible par 3; Exemples : 27; 420
Nombres divisibles par 5: Le dernier chiffre est 5 ou 0; Exemples : 15; 870
Nombres divisibles par 9: La somme des chiffres est égale à 9; Exemples : 81; 621

Calcul de limites

Pour le calcul de limite, il faut connaître les comportements des fonctions standards : $x^n$ , ln(x), $e^x$ , sin(x), cos(x), etc.

Pour gérer les cas d’indécisions, il existe trois techniques de résolutions :

Diviser l’expression en sommes indépendantes
A utiliser pour des fractions par exemple :

\frac{1+ln(x)+3x}{x} = \frac{1}{x}+\frac{ln(x)}{x}+\frac{3x}{x}

Théorème des gendarmes ou d’encadrement

On trouve deux fonctions g(x) et h(x) d’encadrement pour que

g(x) \le f(x) \le h(x)

Ces deux fonctions doivent avoir la même limite a, ce qui permet de déduire la limite de f par encadrement.

\lim_{x \to ?}g(x) \le \lim_{x \to ?}f(x) \le \lim_{x \to ?}h(x)

Ce théorème marche particulièrement bien avec sinus et cosinus car on a : $-1 \le sin(x) \le 1$

Théorème des croissances comparées

Cela concerne davantage les fonctions x, ln(x) et exp(x). Il existe une hiérarchie entre elles :

ln(x) < x < exp(x)

Lorsque deux de ces fonctions sont présentes dans une expression, on tient compte de la plus importante pour calculer la limite.

Exemples :

\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty

\lim_{x \to -\infty} x\,e^x = 0

\lim_{x \to 0+} x\,\ln(x) = 0

\lim_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x} = 0

Système de deux équations à deux inconnues

\begin{cases} 3x+2y=5 &(1)\cr x-3y=9 &(2) \end{cases}

On déduit $y$ de (1)

y=\frac{5}{2}-\frac{3x}{2}

On remplace $y$ dans l’autre équation (2)

x-\frac{15}{2}+\frac{9x}{2}=9

\frac{11x}{2}=\frac{33}{2}

x=3

On remplace la valeur de $x$ dans l’équation déduite à l’étape 1

y=-2

Equations différentielles

Une équation différentielle possède une seule inconnue $y$ en relation avec sa dérivée $y'$

On est en mesure de résoudre les équations de ce type :

y'+ay=0 \; \longrightarrow \; y = K.exp(-a.x)

Equations au second degré (trinôme)

Un polynôme possède une seule inconnue $x$ en relation avec les puissances de celui-ci $x^n$

ax^2+bx+c=0

Résolution :

Calcul du discriminant ( $\Delta$ )

\Delta=b^2-4ac

Solutions selon le signe de $\Delta$

$\Delta>0$ :

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \;\;\; x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

$\Delta=0$ :

x_0=\frac{-b}{2a}

$\Delta<0$ : pas de racines réelles mais complexes

x_1=\frac{-b-i\sqrt{\Delta}}{2a} \;\;\; x_2=\frac{-b+i\sqrt{\Delta}}{2a}

Propriétés supplémentaires :

Deux polynômes sont égaux si leurs coefficients sont identiques
Forme canonique : $a(x+\frac{b}{2a})^2−\frac{b^2−4ac}{4a^2}$

Calcul d’intégrales - Intégration par parties

\int u(x).v'(x) \, dx = u(x).v(x) - \int u'(x).v(x) \, dx

\int uv'=uv-\int u'v

Exemple :

\int^e_1 x.ln(x) \, dx

On décompose l’intégrale en un produit uv’. Le choix du u et v’ est stratégique. le but est de réduire au plus simple la deuxième intégrale $\int u'v$

\begin{cases} u=ln(x) & \longrightarrow u'=\frac{1}{x} \cr v'=x & \longrightarrow v=\frac{x^2}{2} \end{cases}

On utilise la formule pour réécrire l’intégrale en deux parties :

\begin{aligned} \int^e_1 x.ln(x) \, dx &= \begin{bmatrix}\frac{x^2.ln(x)}{2}\end{bmatrix}^e_1 - \int^e_1 \frac{x}{2} \, dx \cr &= \begin{bmatrix}\frac{x^2.ln(x)}{2}\end{bmatrix}^e_1 - \begin{bmatrix}\frac{x^2}{4}\end{bmatrix}^e_1 \cr &= \frac{e^2+1}{4} \end{aligned}

Notes :

En général, si on a un produit avec $x$ dans l’intégrale principale, alors on pose $v=x$ pour simplifier la nouvelle intégrale.
Ne pas oublier de découper l’intégrale en plusieurs sommes si la résolution est difficile (comme $\frac{x^2-3x}{2}$ ).
Pour les cas les plus complexes, il peut y avoir 2 intégrations par parties successives.

Logarithmes et exponentielles

Exponentielle sur $\mathbb{R}$: Exponentielle se dérive en lui-même ${e^x}'=e^x$; La constante réel $e \simeq 2,718$
Logarithme népérien sur $\mathbb{R}-{0}$: Fonction inverse de l’exponentielle $ln(e^x)=x$; Permet de résoudre des questions de type : “Exprimer n lorsque $x^n=k$ ”, on écrit alors $n=\frac{ln(k)}{ln(x)}$; Valeurs stratégiques $ln(1)=0$ et $ln(e)=1$

y=x (en noir) est l'axe de symétrie entre exp(x) (en rouge) et ln(x) (en bleu)

Logarithme décimal sur $\mathbb{R}+*$: S’utilise beaucoup en sciences physiques où l’on manipule les puissances de 10

x=10^y \; \longrightarrow \; y = log(x)

log(x)=\frac{ln(x)}{ln(10)}

Manipulation des puissances et exponentielle

Les puissances et les exponentielles se manipulent de la même façon :

e^a.e^b = e^{a+b}

\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}

(e^a)^n = e^{a.n}

x^a.x^b = x^{a+b}

\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}

(x^a)^n = x^{a.n}

Manipulation des logarithmes

Les deux logarithmes (log et ln) se manipulent de la même façon :

ln(a.b) = ln(a) + ln(b)

ln(\frac{a}{b}) = ln(a) - ln(b)

ln(a^n) = n.ln(a)

log(a.b) = log(a) + log(b)

log(\frac{a}{b}) = log(a) - log(b)

log(a^n) = n.log(a)